::Témakörök »Differenciálszámítás
Szöveges szélsőérték feladatok

Összesen 4 feladat

303. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok

Egy termék árát a p(x) függvény adja meg eFt-ban ahol "x" a gyártott darabszám. A gyártó legfeljebb 250 darabot tud előállítani. "x" darabszám esetén a gyártás önköltségét a K(x) függvény írja le (eFt-ban).

a/ Add meg a termék árát, az így elért bevételt, a gyártás önköltségét, és az elért nyereséget x=100 db előállítása esetén.
b/ Milyen darabszám esetén lesz az elérhető bevétel maximális? Hány százalék a profit termékdarabonként?
c/ Milyen darabszám esetén lesz az elérhető nyereség maximális? Hány százalék a profit termékdarabonként?
d/ Ha a nyereség maximális, hány százalékkal alacsonyabb a bevétel az elérhető maximumhoz képest?
e/ Ha a bevétel a maximális, hány százalékkal alacsonyabb a nyereség az elérhető maximumhoz képest?


36. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok

Két pozitív valós szám összege tíz. Hogyan válasszuk meg ezeket a számokat, hogy négyzetük és köbük összege minimális legyen?


35. feladat Nehézségi szint: 5 kredit
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok

Az alábbi táblázat tartalmazza 3 részvény aktuális és várható árfolyamát (Ft-ban) a dollárban mért olajár változás (x) függvényében.
Portfólióm az alábbi:
- 500 db Légyvidám Zrt. részvény
- 1950 db LilaAkác Zrt. részvény
- 500 db Nyárfa Zrt. részvény
Milyen olajárváltozás mellett éri el a portfólió a legnagyobb értékét, és mennyi ez a változás?


34. feladat Nehézségi szint: 4 kredit
» Differenciálszámítás » Szöveges szélsőérték feladatok

Egy termék árát az alábbi p(x) függvény adja meg a a gyártott darabszám (x) függvényében.
a/ Írd fel a bevételt leíró függvényt és add meg értelmezési tartományát!
b/ Mely darabszám mellett lesz a bevétel maximális? Add meg ezt a maximális bevételt!



I. Differencia- és differenciálhányados
II. Pontbeli differenciálhatóság
III. Elemi függvények deriváltjai
IV. Összetett függvények, deriválási szabályok
V. Implicit függvény deriváltja
VI. Teljes függvényvizsgálat
Monotonitás és szélsőérték - Konvexitás és inflexiós pont


VII. Pontbeli érintő és normális
VIII. Pontelaszticitás
IX. Szöveges szélsőérték feladat

Differencia- és differenciálhányados

Az f(x) függvény x=a helyen felírt differenciahányadosa definíció szerint a függvényérték változás és a független változó (x) megváltozásának a hányadosa:

Az f(x) függvény x=a helyen érvényes differenciálhányadosa definíció szerint a differenciahányadosa határértéke, amennyiben az létezik:


Pontbeli differenciálhatóság

Ha létezik a differenciahányados határértéke, akkor az x=a pontban az f(x) függvény differenciálható, ellenkező esetben nem. Tipikus eset az, amikor két függvénygörbe nem érintőlegesen csatlakozik egymáshoz, ekkor a differenciahányados bal- és jobboldali határértéke nem egyezik meg, és ezért ebben a pontban a függvény nem differenciálható.

A differenciahányados geometriailag a két pontot összekötő húr meredeksége, míg a differenciálhányados az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjének meredekségét adja meg:


Olyan x=a helyen, ahol balról és jobbról nem ugyanaz a függvény érvényes, a differenciahányados határértékét balról és jobbról is számolni kell. Ha a két határérték megegyezik, létezik a határérték, ellenkező esetben nem:


Feladatok között előfordul még az f(x) függvény differenciahányados függvénye is. Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciahányados függvény is szakaszokból áll. A differenciahányados függvény az x=a helyen sosem értelmezhető, mivel a nevező nem lehet 0.

Elemi függvények deriváltjai

Egy elemi függvény deriváltját (deriváltfüggvényét, azaz differenciálhányadosfüggvényét) a határértékszámítás eszközeivel egy általános x=a helyen tudjuk levezetni. Mivel az x=a hely egy általános hely, a teljes függvényre érvényes lesz az eredmény.

Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciálhányados függvény is szakaszokból áll. A differenciálhányados függvény az x=a helyen is értelmezhető, ha létezik a differenciahányados határértéke, ellenkező esetben nem.

A gyakorlatban az elemi függvények levezetéssel kapott deriváltfüggvényeit táblázatból keressük ki, illetve memorizáljuk.

Összetett függvények, deriválási szabályok

Összetett függvény deriválását célszerű kivülről befelé haladva végezni, azaz először a legkülső függvényt deriváljuk, majd annak belső függvényét, és így tovább. Ez a láncszabály.


Konstans a deriváláskor kiemelhető:


Függvények összege, különbsége tagonként deriválható:


Függvények szorzatának deriválási szabálya:


Törtfüggvény deriválási szabálya:


Feladatmegoldás során sose feledkezzünk meg az értelmezési tartomány felírásáról sem!

Implicit függvény deriváltja

Előfordul, hogy egy feladatban a függvénykapcsolat nem adható meg explicit formában:
Példa az explicit megadásra (y kifejezhető):


Példa az implicit megadásra (az f(x) függvényt y jelöli, és y nem fejezhető ki):


Implicit deriváláskor minden y-t tartalmazó kifejezést összetett függvényként kezelek, pl a fenti példában y deriváltja y', vagy y2 deriváltja 2y•y':



Vegyük észre, hogy többnyire a derivált is implicit alakú!

Teljes függvényvizsgálat - Monotonitás és szélsőérték - Konvexitás és inflexiós pont

A teljes függvényvizsgálat szempontjai:
   - értelmezési tartomány,
   - határértékek az értelmezési tartomány határainál, azaz
      - határérték a pozitív és negatív végtelenben (ha ott értelmezve van a függvény),
      - határérték (bal- és jobboldali) az összes véges helyen, ahol a függvény nem értelmezhető,
   - függvény zérushelyei:
   - paritásvizsgálat, azaz páros-, vagy páratlan-e a függvény (vagy egyik se)
   - függvény monotonitása:


   - függvény szélsőértéke (minimum, maximum):
      elégséges feltételt is nézni kell (a derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)!
      lokális minimum esetén a függvényérték csökkenést követően növekedik,
      lokális maximum esetén a függvényérték növekedést követően csökken,


   - függvény konvexitása (konvex fv.görbe alulról nézve gömbölyű, a konkáv felülről):


   - függvény inflexiós pontja:
      elégséges feltételt is nézni kell (a második derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)!


Pontbeli érintő és normális

Az f(x) függvény x=a pontbeli első deriváltjának értéke a függvénygörbe érintőjének meredekségét adja meg, így az érintő egyenlete:


Az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjére merőleges az ugyanezen a ponton átmenő normális, melynek egyenlete:


Vegyük észre, hogy a két meredekség szorzata -1:


Pontelaszticitás

A függvény x=a pontjában a pontelaszticitás számértéke százalékosan megadja, hogy a független változó 1 %-os fajlagos megváltozásához a függvényérték hány százalékos fajlagos megváltozása tartozik. A pontelaszticitás számítási képlete határértékszámítással adódik:
   

Példa 1:
Ha x=3 helyen E(3)= -2, akkor az x=3 helyen x 1 %-os növelésével a függvényérték várhatóan 2 %-kal csökken!
Példa 2:
Ha x=3 helyen E(3)= +1,2, akkor az x=3 helyen x 1 %-os növelésével a függvényérték várhatóan 1,2 %-kal nő!

Általánosíthatunk is, azaz képezhetjük az úgynevezett elaszticitás függvényt is, mely tetszőleges x pontban megadja az elaszticitás százalékos értékét:


Szöveges szélsőérték feladat

Szöveges feladatok esetében előfordulhat, hogy valamely vizsgált jellemző szélsőértékét, azaz maximumát, minimumát keressük. Ekkor fel kell írnunk a vizsgált jellemzőt leíró függvényt, s annak (általában) lokális maximumát vagy minimumát keresni. Ezt a függvény szélsőérték vizsgálatával tehetjük meg, miután a szöveges feladat alapján saját magunk írtuk fel a vizsgálandó függvényt.

www.maths.hu

Bejelentkezés

 Jelszó:
Elfelejtett jelszó
Regisztráció
matek korrepetálás

 Skype:

Mai látogatók: 128
Regisztrált felhasználók:    1584
Ügyfélszolgálat (9-22 között)
06 (20) 396-03-74
VÁRJUK A VÉLEMÉNYED!

Mely témakörök érdekelnek Téged?
 Sorozatok
 Differenciálszámítás
 Függv., határérték, folytonosság
 Többváltozós függvények
 Integrálszámítás
 Differenciálegyenletek
 Komplex számok
 Valószínűségszámítás
 Matematikai statisztika
 Lineáris algebra, mátrixok

Hol hallottál a maths.hu oldalról?
 az interneten találtam
 újságban olvastam
 plakáton láttam
 ismerősöm mesélte



Szavazás állása

Linkajánló


matematika.linkek.hu
oktatas.weblink.hu

Hun-Web Linkek
Oktatás.wyw.hu
Linky.hu - Linkek
Math world
www.eoldal.hu
e-matematika.lap.hu
Oktató videó, ebook, tutorial, video tutorial, könyv, e-book ingyen - ebookz.hu

Egyéb oldalak

www.webtelefonkonyv.hu